मान लीजिए vec{a} = hat{i} - 2hat{j} + 3hat{k} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\vec{a} 	imes \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ है। हमें $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} 	imes \vec{b

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$1$

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(A) दिया गया है कि $\vec{a} 	imes \vec{c} = \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ है। हमें $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} 	imes \vec{b})$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{c} = x(\vec{a} \cdot \vec{a}) + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}))$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 14$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - 2 + 3 = 2$,और $\vec{a} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) = 0$ है,इसलिए हमें $3 = 14x + 2y$ प्राप्त होता है।
$\vec{c}$ के दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर: $\vec{a} 	imes \vec{c} = x(\vec{a} 	imes \vec{a}) + y(\vec{a} 	imes \vec{b}) + z(\vec{a} 	imes (\vec{a} 	imes \vec{b}))$.
$\vec{a} 	imes \vec{c} = \vec{b}$ और सर्वसमिका $\vec{a} 	imes (\vec{a} 	imes \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = 2\vec{a} - 14\vec{b}$ का उपयोग करने पर,हमें $\vec{b} = y(\vec{a} 	imes \vec{b}) + z(2\vec{a} - 14\vec{b})$ प्राप्त होता है।
$\vec{a}$,$\vec{b}$,और $(\vec{a} 	imes \vec{b})$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $2z = 0 \implies z = 0$,$y = 1$,और $-14z = 1$ (जो एक विरोधाभास है)। अतः,मानक रूप $\vec{c} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes \vec{b}}{|\vec{a}|^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = 3/14, y = 1/14, z = 1/14$ प्राप्त होता है। योग $5/14$ है।

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$[(a \times b) \times (b \times c), (b \times c) \times (c \times a), (c \times a) \times (a \times b)] = \,$

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