मान लीजिए कि f,mathbb{R} पर एक दो बार अवकलनीय | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $f(x)+\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t=\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) \cos 2 x+\frac{2}{a} x$ $(i)$.$x=0$ पर,$f(0) + 0 = (1+1)\

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$8$

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(B) दिया गया समीकरण: $f(x)+\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t=\left(e^{2 x}+e^{-2 x}\right) \cos 2 x+\frac{2}{a} x$ $(i)$.$x=0$ पर,$f(0) + 0 = (1+1)\cos(0) + 0$,अतः $f(0)=2$.समाकलन $\int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t$ के लिए लेबनीज नियम का उपयोग करने पर,$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x}(x-t) f^{\prime}(t) d t = \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) d t = f(x) - f(0)$.समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\prime}(x) + f(x) - f(0) = \frac{d}{dx} [2 \cosh(2x) \cos(2x)] + \frac{2}{a}$.$f^{\prime}(x) + f(x) - 2 = 4 \sinh(2x) \cos(2x) - 4 \cosh(2x) \sin(2x) + \frac{2}{a}$.$x=0$ रखने पर,$f^{\prime}(0) + f(0) - 2 = 0 - 0 + \frac{2}{a}$.दिया गया है कि $f^{\prime}(0)=4$ और $f(0)=2$,अतः $4 + 2 - 2 = \frac{2}{a}$,जिसका अर्थ है $4 = \frac{2}{a}$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$.अंत में,$(2a+1)^5 a^2 = (2(\frac{1}{2})+1)^5 (\frac{1}{2})^2 = (2)^5 \cdot \frac{1}{4} = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$.

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यदि एक सतत फलन $f(x)$ के लिए,$\int_{-\pi}^{t} (f(x) + x) dx = \pi^2 - t^2$ सभी $t \ge -\pi$ के लिए सत्य है,तो $f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /2} \sin^{2m} x \, dx = $

$\int_{-3\pi}^{3\pi} \sin^2 \theta \sin^2 2\theta \, d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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