मान लीजिए A = begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 1 & | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$। $A^2$ की गणना करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1

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$17$

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(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$। $A^2$ की गणना करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = A$। अतः, सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ है। अब, $B = A - I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$। $B^2$ की गणना करने पर: $B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = -B$। तब $B^3 = -B^2 = B$, $B^4 = -B$, $B^5 = B$, और सामान्यतः विषम $n$ के लिए $B^n = B$ तथा सम $n$ के लिए $B^n = -B$ है। समीकरण $A + \omega^n B^n = A + B$ है। इसका अर्थ है $\omega^n B^n = B$। स्थिति $1$: $n$ विषम है। तब $B^n = B$, अतः $\omega^n B = B \Rightarrow \omega^n = 1$। चूंकि $\omega = e^{i2\pi/3}$, $\omega^n = 1$ का अर्थ है कि $n$, $3$ का गुणज है। अतः $n \in \{3, 9, 15, \ldots, 99\}$। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a=3, d=6, l=99$ है। $99 = 3 + (k-1)6 \Rightarrow 96 = (k-1)6 \Rightarrow 16 = k-1 \Rightarrow k = 17$। स्थिति $2$: $n$ सम है। तब $B^n = -B$, अतः $\omega^n (-B) = B \Rightarrow \omega^n = -1$। $\omega^n = -1$ का अर्थ है कि $n$, $3$ का विषम गुणज है, लेकिन $n$ को सम होना चाहिए, अतः यहाँ कोई हल नहीं है। इस प्रकार, कुल $17$ मान प्राप्त होते हैं।

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