मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ और $Q(x) =

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$\frac{3}{2}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ और $Q(x) = \frac{x+3}{x+1}$ है।$P(x)$ के लिए आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:$\frac{2x^2+11x+13}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3} = \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$.$P(x)$ का समाकलन करने पर:$\int P(x) dx = 2\ln(x+1) + \ln(x+2) - \ln(x+3) = \ln\left(\frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}\right)$.समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3}$ है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \int \left(\frac{x+3}{x+1}\right) \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} dx = \int (x+1)(x+2) dx = \int (x^2+3x+2) dx$.$y \cdot \frac{(x+1)^2(x+2)}{x+3} = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C$.चूँकि वक्र बिंदु $(0,1)$ से होकर गुजरता है:$1 \cdot \frac{(1)^2(2)}{3} = 0 + 0 + 0 + C \implies C = \frac{2}{3}$.$x=1$ के लिए:$y(1) \cdot \frac{(2)^2(3)}{4} = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} + 2 + \frac{2}{3} = 1 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{9}{2}$.$y(1) \cdot 3 = \frac{9}{2} \implies y(1) = \frac{3}{2}$.

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दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए: $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$; जब $x = \frac{\pi}{2}$ तब $y = 2$।

निम्नलिखित में से कौन सा एक रैखिक अवकल समीकरण (linear differential equation) है?

अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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