अवकल समीकरण left(1-x^2right) frac{d y}{d x}+x | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ है। दोनों पक्षों को $(1-x^

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$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ है। दोनों पक्षों को $(1-x^2)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{d y}{d x} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{x^4 (1-x^2)^{3/2}}{(1+x^5)(1-x^2)} = \frac{x^4 \sqrt{1-x^2}}{1+x^5}$. यह $\frac{d y}{d x} + P(x) y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$ द्वारा दिया जाता है। माना $u = 1-x^2$, तब $du = -2x dx$, इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$। $IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।

अवकल समीकरण $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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