मान लीजिए कि A और B दो 3 times 3 शून्येतर वास | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $AB = 0$,जहाँ $A$ और $B$ $3 	imes 3$ शून्येतर आव्यूह हैं।दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|AB| = |0| = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $|A

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रैखिक समीकरण निकाय $AX = 0$ के अनंत हल हैं।

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(B) दिया गया है कि $AB = 0$,जहाँ $A$ और $B$ $3 	imes 3$ शून्येतर आव्यूह हैं।दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|AB| = |0| = 0$ प्राप्त होता है।चूंकि $|AB| = |A||B| = 0$,इसका अर्थ है कि $|A|$ या $|B|$ में से कम से कम एक $0$ होना चाहिए।यदि $|A| 
eq 0$ है,तो $A$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $A^{-1}(AB) = A^{-1}(0) \Rightarrow B = 0$,जो दी गई शर्त कि $B$ एक शून्येतर आव्यूह है,का विरोधाभास करता है।यदि $|B| 
eq 0$ है,तो $B$ व्युत्क्रमणीय है,इसलिए $(AB)B^{-1} = 0(B^{-1}) \Rightarrow A = 0$,जो दी गई शर्त कि $A$ एक शून्येतर आव्यूह है,का विरोधाभास करता है।अतः,$|A| = 0$ और $|B| = 0$ है।चूंकि $|A| = 0$,आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) है,जिसका अर्थ है कि रैखिक समीकरण निकाय $AX = 0$ के अनंत हल हैं।

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो $3 \times 3$ शून्येतर वास्तविक आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $AB$ एक शून्य आव्यूह है। तो:

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$p$ और $q$ के वे मान जिनके लिए समीकरण निकाय $2x + py + 6z = 8$,$x + 2y + qz = 5$ और $x + y + 3z = 4$ का कोई हल न हो,हैं

यदि रैखिक समीकरण निकाय
$7x + 11y + \alpha z = 13$
$5x + 4y + 7z = \beta$
$175x + 194y + 57z = 361$
के अनंत हल हैं,तो $\alpha + \beta + 2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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