मान लीजिए P एक शून्येतर बहुपद है ताकि सभी वास | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $P(x)$ एक शून्येतर बहुपद है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए $P(1+x)=P(1-x)$ और $P(1)=0$ को संतुष्ट करता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक

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$2$

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(B) दिया गया है कि $P(x)$ एक शून्येतर बहुपद है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए $P(1+x)=P(1-x)$ और $P(1)=0$ को संतुष्ट करता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $P'(1+x) = -P'(1-x)$. $x=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $P'(1) = -P'(1) \implies 2P'(1) = 0 \implies P'(1) = 0$. चूंकि $P(1)=0$ और $P'(1)=0$,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-1)^2$ को $P(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए। यह जांचने के लिए कि क्या $m$ बड़ा हो सकता है,$P(x) = (x-1)^2$ पर विचार करें। यह $P(1+x) = (1+x-1)^2 = x^2$ और $P(1-x) = (1-x-1)^2 = (-x)^2 = x^2$ को संतुष्ट करता है। अतः,$P(1+x)=P(1-x)$ सत्य है। इसलिए,सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ताकि $(x-1)^m$ ऐसे सभी $P(x)$ को विभाजित करे,वह $2$ है।

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec^{-1} x$	$I$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in (-1, 1)$
$B$. $\tanh^{-1} x$	$II$. $\frac{-1}{\|x\| \sqrt{x^2+1}}, x \neq 0$
$C$. $\coth^{-1} x$	$III$. $\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^2-1}}, \|x\| > 1$
$D$. $\operatorname{cosech}^{-1} x$	$IV$. $\frac{1}{1-x^2}, x \in R - [-1, 1]$
	$V$. $\frac{-1}{\|x\| \sqrt{1-x^2}}, \|x\| < 1, x \neq 0$

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