ધારો કે z=x+iy અને w=u+iv એ એકમ વર્તુળ પરના સ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $z$ અને $w$ એકમ વર્તુળ પરની સંકર સંખ્યાઓ છે,તેથી $|z|=1$ અને $|w|=1$ થાય. આનો અર્થ છે કે $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ અ

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $z$ અને $w$ એકમ વર્તુળ પરની સંકર સંખ્યાઓ છે,તેથી $|z|=1$ અને $|w|=1$ થાય. આનો અર્થ છે કે $z\bar{z}=1 \Rightarrow \bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $w\bar{w}=1 \Rightarrow \bar{w}=\frac{1}{w}$. આપેલ છે $z^2+w^2=1$. બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $\bar{z}^2+\bar{w}^2=1$ મળે છે. $\bar{z}=\frac{1}{z}$ અને $\bar{w}=\frac{1}{w}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{z^2}+\frac{1}{w^2}=1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{z^2+w^2}{z^2w^2}=1$ થાય છે. $z^2+w^2=1$ હોવાથી,$\frac{1}{z^2w^2}=1$ મળે,તેથી $z^2w^2=1$,જેનો અર્થ છે કે $(zw)^2=1$,એટલે કે $zw=1$ અથવા $zw=-1$. કિસ્સો $1$: $zw=1$. તો $w=\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1 \Rightarrow z^4-z^2+1=0$ મળે. આ $z^2$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે $z^2 = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}$ આપે છે. આમ $z$ ની $4$ કિંમતો મળે. કિસ્સો $2$: $zw=-1$. તો $w=-\frac{1}{z}$. $z^2+w^2=1$ માં મૂકતા,$z^2+\frac{1}{z^2}=1$ મળે,જે કિસ્સા $1$ જેવું જ છે. આ પણ $z$ ની $4$ કિંમતો આપે છે. કુલ ક્રમિત જોડ $(z, w)$ ની સંખ્યા $4+4=8$ છે.

ધારો કે $z=x+iy$ અને $w=u+iv$ એ એકમ વર્તુળ પરના સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $z^2+w^2=1$ થાય. તો ક્રમિત જોડ $(z, w)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $1+2i$ એ સમીકરણ $x^4-3x^3+8x^2-7x+5=0$ નું એક બીજ હોય,તો અન્ય બીજોના વર્ગોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$z^3+\bar{z}=0$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $z=3+5i$ હોય,તો $z^3+\bar{z}+198$ ની કિંમત શોધો.

જો $(3 + i)z = (3 - i)\bar{z}$ હોય,તો સંકર સંખ્યા $z$ શું છે?

જો ${z_1} = 1 + 2i$ અને ${z_2} = 3 + 5i$ હોય, તો $\operatorname{Re} \left( \frac{{\bar{z}_2}{z_1}}{{z_2}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module