ધારો કે x, y, z એ ધન પૂર્ણાંકો છે જેથી HCF(x, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને

Vedclass · Accepted Answer

માત્ર $II$ અને $III$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને ભાગતું નથી. તેથી,$I$ ખોટું છે.$II$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$. $3$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ એ $3$ ના ગુણક છે,જે $HCF=1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે. જો $z^2 \equiv 1$,તો $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$. તેથી $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$. આમ $x+y \equiv 0$ અથવા $x-y \equiv 0 \pmod 3$. $II$ સાચું છે.$III$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$. $5$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1, 4$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,વિરોધાભાસ. જો $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(1, 1)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. જો $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(4, 4)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. બંને કિસ્સામાં,$5$ એ $x^2-y^2$ ને ભાગે છે,તેથી $5$ એ $z(x^2-y^2)$ ને ભાગે છે. $III$ સાચું છે.

Similar Questions

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x^2+4x+1}{x^2+x+1}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $p$ અને $q$ એવી ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $p^2 + q^2 = 1$ થાય,તો $(p + q)$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી?

જો $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ $(p \neq 0)$ ના બીજ હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module