मान लीजिए alpha एक निश्चित शून्येतर सम्मिश्र | vedclass

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Question

(C) हमें $|\alpha| < 1$ के साथ $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$ दिया गया है।$|z| < 1$ स्थिति पर विचार करें।हम $|w|^2 = w\bar{w}$ का मान जाँचते ह

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$|w| < 1$ सभी $z$ के लिए जहाँ $|z| < 1$

Vedclass · Answer

(C) हमें $|\alpha| $|z| हम $|w|^2 = w\bar{w}$ का मान जाँचते हैं।$|w|^2 = \frac{|z|^2 - z\bar{\alpha} - \bar{z}\alpha + |\alpha|^2}{1 - \bar{z}\alpha - z\bar{\alpha} + |\alpha|^2|z|^2}$.$|w|^2 - 1 = \frac{-(1 - |z|^2)(1 - |\alpha|^2)}{|1 - \bar{\alpha}z|^2}$.चूँकि $|z|  0$ और $(1 - |\alpha|^2) > 0$ है।अतः,$|w|^2 - 1 < 0$,जो दर्शाता है कि सभी $|z| < 1$ के लिए $|w| < 1$ है।

कॉलम-$I$	कॉलम-$II$
$A. Z_1 Z_2$	$1. \text{काल्पनिक अक्ष (imaginary axis)}$
$B. Z_1 + Z_2 = 0$	$2. \text{Im}(-Z_2)$
$C. \text{Im}(Z_1)$	$3. \|Z_1\|^2$
$D. \text{Re}(Z_1)$	$4. \text{Re}(Z_2)$

मान लीजिए $\alpha$ एक निश्चित शून्येतर सम्मिश्र संख्या है जहाँ $|\alpha| < 1$ और $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$,जहाँ $z$ एक सम्मिश्र संख्या है। तब,

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