मान लीजिए $f(x)$ वास्तविक गुणांकों वाला एक गैर-स्थिर बहुपद है,जैसे कि $f\left(\frac{1}{2}\right)=100$ और सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \leq 100$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है?

मान लीजिए $N$ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है। सभी $n \in N$ के लिए,मान लीजिए $f_n = (n+1)^{1/3} - n^{1/3}$ और $A = \{n \in N : f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n\}$ है। तो,

माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $X$,$S$ से $S$ तक के उन सभी संबंधों $R$ का समुच्चय है जो निम्नलिखित दोनों शर्तों को संतुष्ट करते हैं:
$i$. $R$ में ठीक $6$ अवयव हैं।
$ii$. प्रत्येक $(a, b) \in R$ के लिए,$|a-b| \geq 2$ है।
माना $Y = \{R \in X : R \text{ का परिसर ठीक एक अवयव रखता है}\}$ और $Z = \{R \in X : R, S \text{ से } S \text{ तक एक फलन है}\}$।
माना $n(A)$,समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या को दर्शाता है।
$(1)$ यदि $n(X) = {}^{m}C_{6}$ है,तो $m$ का मान . . . . है।
$(2)$ यदि $n(Y) + n(Z)$ का मान $k^{2}$ है,तो $|k|$ का मान . . . . है।

मान लीजिए $\alpha, \beta$ और $\gamma$ तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x, x \in \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $g(f(x)) = x$ है। यदि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ समांतर श्रेणी में हैं और उनका माध्य शून्य है,तो $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x)=\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}$ है,तो $f(x+y) \cdot f(x-y)$ का मान क्या है?

यदि $a+\alpha=1, b+\beta=2$ और $x \neq 0$ के लिए $af(x)+\alpha f\left(\frac{1}{x}\right)=bx+\frac{\beta}{x}$ है,तो व्यंजक $\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}}$ का मान ..... है।