मान लीजिए N धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है। | vedclass

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Question

(A) सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $a = (n+1)^{1/3}$ और $b = n^{1/3}$ है।तब $f_n = a - b = \frac{a^3 - b^3}

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$A = N$

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(A) सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $a = (n+1)^{1/3}$ और $b = n^{1/3}$ है।तब $f_n = a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$ है।चूंकि $n अतः,$3n^{2/3} व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{3(n+1)^{2/3}} $n$ को $n+1$ से बदलने पर,हमें $\frac{1}{3(n+2)^{2/3}} इन असमिकाओं को मिलाने पर,हमारे पास सभी $n \in N$ के लिए $f_{n+1} इसलिए,$A = N$ है।

मान लीजिए $N$ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है। सभी $n \in N$ के लिए,मान लीजिए $f_n = (n+1)^{1/3} - n^{1/3}$ और $A = \{n \in N : f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n\}$ है। तो,

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