मान लीजिए $a, b, c, d$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $a, b$ समीकरण $x^2-5cx-6d=0$ के मूल हैं,और $c, d$ समीकरण $x^2-5ax-6b=0$ के मूल हैं। तो $b+d$ का मान है

अंतराल $[1, 2014]$ में उन पूर्णांकों $a$ की संख्या क्या है जिनके लिए समीकरण निकाय $x+y=a$ और $\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ के सीमित हल हैं?

मान लीजिए $a, b$ द्विघात बहुपद $x^2+20x-2020$ के भिन्न वास्तविक मूल हैं और मान लीजिए $c, d$ द्विघात बहुपद $x^2-20x+2020$ के भिन्न सम्मिश्र मूल हैं। तो $ac(a-c)+ad(a-d)+bc(b-c)+bd(b-d)$ का मान है

मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}-4 \lambda x+5=0$ के मूल हैं और $\alpha, \gamma$ समीकरण $x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+7+3 \lambda \sqrt{3}=0$ के मूल हैं। यदि $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$ है,तो $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ के मूल हैं,जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,तो $\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $p$ और $q$ समीकरण $x^2-2x+A=0$ के मूल हैं और $r$ तथा $s$ समीकरण $x^2-18x+B=0$ के मूल हैं। यदि $p < q < r < s$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $A$ और $B$ का मान ज्ञात कीजिए।