मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है जिसमें AB=BC है। | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $	riangle ABC$ में,$AB=BC$ और $\frac{AX}{XB} = \frac{AB}{AX} = k$ है। चूंकि $AB = AX + XB$,हमारे पास $\frac{AB}{AX} = \frac{AX+XB}

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$36$

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(B) दिया गया है कि $	riangle ABC$ में,$AB=BC$ और $\frac{AX}{XB} = \frac{AB}{AX} = k$ है। चूंकि $AB = AX + XB$,हमारे पास $\frac{AB}{AX} = \frac{AX+XB}{AX} = 1 + \frac{XB}{AX} = 1 + \frac{1}{k}$ है। अतः,$k = 1 + \frac{1}{k} \Rightarrow k^2 - k - 1 = 0$। चूंकि $k > 0$,$k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$। तब $\frac{AX}{AB} = \frac{1}{k} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$। मान लीजिए $\angle ABC = 	heta$। चूंकि $AB=BC$,$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ}-	heta}{2} = 90^{\circ} - \frac{	heta}{2}$। $	riangle AXC$ में,$AC=AX$,इसलिए $\angle AXC = \angle ACX = \angle BCA = 90^{\circ} - \frac{	heta}{2}$। तब $\angle XAC = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \frac{	heta}{2}) = 	heta$। चूंकि $\angle BAC = 90^{\circ} - \frac{	heta}{2}$,हमारे पास $\angle BAX = \angle BAC - \angle XAC = (90^{\circ} - \frac{	heta}{2}) - 	heta = 90^{\circ} - \frac{3	heta}{2}$ है। $	riangle BAX$ में,ज्या नियम (Law of Sines) द्वारा: $\frac{AX}{\sin 	heta} = \frac{AB}{\sin(90^{\circ}-\frac{	heta}{2})}$। $\frac{AX}{AB} = \frac{\sin 	heta}{\cos(	heta/2)} = \frac{2\sin(	heta/2)\cos(	heta/2)}{\cos(	heta/2)} = 2\sin(	heta/2)$। $\frac{AX}{AB}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $2\sin(	heta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow \sin(	heta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \sin 18^{\circ}$। इसलिए,$\frac{	heta}{2} = 18^{\circ} \Rightarrow 	heta = 36^{\circ}$।

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