मान लीजिए f(x) = int frac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)} | vedclass

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Question

(A) माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$ होगा। समाकलन में मान रखने पर: $f(x) = \int \frac{dt}{(t+1)(t+3)}$. आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर

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$\frac{1}{2}(\log_e 17 - \log_e 19)$

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(A) माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$ होगा। समाकलन में मान रखने पर: $f(x) = \int \frac{dt}{(t+1)(t+3)}$. आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t+1)(t+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right)$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $f(x) = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+3} \right) dt = \frac{1}{2} (\ln|t+1| - \ln|t+3|) + C$. $t = x^2$ वापस रखने पर: $f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right) + C$. दिया गया है कि $f(3) = \frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) + C = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6) + C$. चूंकि $\frac{1}{2}(\ln 10 - \ln 12) = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 6)$,इसलिए $C = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x^2+1}{x^2+3} \right)$. $f(4)$ का मान ज्ञात करने पर: $f(4) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{4^2+1}{4^2+3} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{17}{19} \right) = \frac{1}{2} (\ln 17 - \ln 19)$.

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$. यदि $f(3) = \frac{1}{2}(\log_e 5 - \log_e 6)$ है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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