int frac{dx}{x(x^5 + 1)} = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^5 + 1)}$.अंश और हर को $x^4$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^4 dx}{x^5(x^5 + 1)}$.माना $x^5 = t$,तब $5x^4 dx = dt$,ज

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$\frac{1}{5}\log |\frac{x^5}{x^5 + 1}| + c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^5 + 1)}$.अंश और हर को $x^4$ से गुणा करने पर:$I = \int \frac{x^4 dx}{x^5(x^5 + 1)}$.माना $x^5 = t$,तब $5x^4 dx = dt$,जिसका अर्थ है $x^4 dx = \frac{dt}{5}$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \frac{1}{5} \int \frac{dt}{t(t + 1)}$.आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:$\frac{1}{t(t + 1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}$.अतः,$I = \frac{1}{5} \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}) dt$.$I = \frac{1}{5} (\log |t| - \log |t + 1|) + c$.$I = \frac{1}{5} \log |\frac{t}{t + 1}| + c$.$t = x^5$ वापस रखने पर:$I = \frac{1}{5} \log |\frac{x^5}{x^5 + 1}| + c$.दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है।

$\int \frac{dx}{x(x^5 + 1)} = $

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यदि $\int \frac{dx}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{k} \log_e \left\{ \frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4} \right\}+c$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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