मान लीजिए कि a_1=1, a_2, a_3, a_4, ldots क्रम | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इसलिए $a_{k+1} - a_k = 1$ सभी $k \ge 1$ के लिए।चूंकि $a_1 = 1$,इसलिए $a

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$	an ^{-1}(2022)-\frac{\pi}{4}$

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(C) दिया गया है कि $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इसलिए $a_{k+1} - a_k = 1$ सभी $k \ge 1$ के लिए।चूंकि $a_1 = 1$,इसलिए $a_2 = 2, a_3 = 3, \ldots, a_{2022} = 2022$ है।श्रेणी का सामान्य पद $	an ^{-1}\left(\frac{1}{1+ a _k a _{k+1}}ight)$ है।चूंकि $a_{k+1} - a_k = 1$,हम पद को $	an ^{-1}\left(\frac{a_{k+1} - a_k}{1+ a _k a _{k+1}}ight)$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $	an ^{-1} x - 	an ^{-1} y = 	an ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करते हुए,श्रेणी इस प्रकार हो जाती है:$\sum_{k=1}^{2021} (	an ^{-1} a_{k+1} - 	an ^{-1} a_k) = (	an ^{-1} a_2 - 	an ^{-1} a_1) + (	an ^{-1} a_3 - 	an ^{-1} a_2) + \ldots + (	an ^{-1} a_{2022} - 	an ^{-1} a_{2021})$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर $	an ^{-1} a_{2022} - 	an ^{-1} a_1$ बन जाती है।$a_{2022} = 2022$ और $a_1 = 1$ मान रखने पर,हमें $	an ^{-1}(2022) - 	an ^{-1}(1) = 	an ^{-1}(2022) - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

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