ધારો કે $A = \{\theta \in (0, 2\pi) : \frac{1+2i \sin \theta}{1-i \sin \theta} \text{એ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે} \}$. તો $A$ ના ઘટકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $\cos (u + iv) = \alpha + i\beta$ હોય,તો ${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1$ ની કિંમત શું થાય?

જો $z = x - iy$ અને $z^{1/3} = p + iq$ હોય,તો $\left( \frac{x}{p} + \frac{y}{q} \right) / (p^2 + q^2)$ ની કિંમત શોધો.

જો ${z_1} = a + ib$ અને ${z_2} = c + id$ એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$ અને $R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0$ થાય,તો સંકર સંખ્યાઓની જોડી ${w_1} = a + ic$ અને ${w_2} = b + id$ શું સંતોષે છે?

ધારો કે $\omega = e^{i \pi / 3}$,અને $a, b, c, x, y, z$ શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $a+b+c = x$,$a+b \omega + c \omega^2 = y$,અને $a+b \omega^2 + c \omega = z$ થાય. તો $\frac{|x|^2+|y|^2+|z|^2}{|a|^2+|b|^2+|c|^2}$ નું મૂલ્ય શોધો.

સંકર સંખ્યા $z$ માટેના પ્રદેશો ધ્યાનમાં લો જે $A: \frac{1}{\log_2 |z|} - \frac{1}{\log_2 |z| - 1} - 1 < 0$ અને $B: \operatorname{Im}(z) = 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. પ્રદેશ $A \cap B$ માં રહેલા $\operatorname{Re}(z)$ ના મૂલ્યોનો વિસ્તાર શોધો.