माना $H_{n} = \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$,जहाँ $n \in N$ है। माना $k$,$n$ का सबसे छोटा सम मान है जिसके लिए $H_{k}$ की उत्केंद्रता (eccentricity) एक परिमेय संख्या है। यदि $l$,$H_{k}$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है,तो $21l$ का मान $.......$ है।

आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ की नाभियों के निर्देशांक हैं

वक्र $xy = c^2$ को क्या कहा जाता है?

वह बिंदु जिससे अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ की दो अलग-अलग शाखाओं पर दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,लेकिन वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ पर कोई दो भिन्न स्पर्श रेखाएँ नहीं खींची जा सकती हैं,वह है:

एक अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{3}{2}$ है। अतिपरवलय पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर रेखा $2x + 3y = 6$ के लंबवत एक स्पर्श रेखा खींची गई है। यदि स्पर्श रेखा द्वारा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं,तो $|6a| + |5b|$ का मान $..........$ है।

अतिपरवलय (hyperbola) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,यदि अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) की लंबाई $8$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2\sqrt{41}$ है,तो इसके नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई क्या है?