ધારો કે y=y(x), y0,એ વિકલ સમીકરણ (1+x^2) dy | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.$(1+x^2) dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}

Vedclass · Accepted Answer

$e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$.$(1+x^2) dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} = \frac{xy - y^2}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}y - \frac{1}{1+x^2}y^2$.આ બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y = -\frac{1}{1+x^2}y^2$.$y^2$ વડે ભાગતા: $y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x^2}y^{-1} = -\frac{1}{1+x^2}$.ધારો કે $t = y^{-1}$,તો $\frac{dt}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-\frac{dt}{dx} - \frac{x}{1+x^2}t = -\frac{1}{1+x^2} \implies \frac{dt}{dx} + \frac{x}{1+x^2}t = \frac{1}{1+x^2}$.આ સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{x}{1+x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}$.ઉકેલ $t \cdot \sqrt{1+x^2} = \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \sqrt{1+x^2} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.$t = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C$.$y(0)=1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\sqrt{1}}{1} = \ln(0+1) + C \implies 1 = 0 + C \implies C=1$.તેથી,$\frac{\sqrt{1+x^2}}{y} = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + 1 = \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \ln e = \ln(e(x + \sqrt{1+x^2}))$.$x = 2\sqrt{2}$ માટે,$y = \beta$: $\frac{\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}}{\beta} = \ln(e(2\sqrt{2} + \sqrt{1+8})) = \ln(e(2\sqrt{2} + 3))$.$\frac{3}{\beta} = \ln(e(3+2\sqrt{2})) \implies e^{3\beta^{-1}} = e(3+2\sqrt{2})$.

ધારો કે $y=y(x), y>0$,એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$ નો ઉકેલ વક્ર છે. જો $y(0)=1$ અને $y(2\sqrt{2})=\beta$ હોય,તો

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (2xy - 1) dy = 0$ એ

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(xy-5x^2\sqrt{1+x^2})dx+(1+x^2)dy=0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=0$ છે. તો $y(\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

જો $u(x)$ અને $v(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+b \frac{d y}{d x}+c y=0$ ના બે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય, તો આપેલ વિકલ સમીકરણનો અન્ય ઉકેલ કયો છે?

બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ, જેનો કોઈ પણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{y}{x + y}$ હોય, તે છે:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module