मान लीजिए कि R,mathbb{Z} times mathbb{Z} पर ए | vedclass

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Question

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(a, b) \in \mathbb{Z} 	imes \mathbb{Z}$ के लिए,$ab - ba = 0$ होता है,जो $5$ से विभाज्य है। अतः,$(a, b) R (a, b)$ सत्य ह

Vedclass · Accepted Answer

स्वतुल्य और सममित है लेकिन संक्रामक नहीं

Vedclass · Answer

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $(a, b) \in \mathbb{Z} 	imes \mathbb{Z}$ के लिए,$ab - ba = 0$ होता है,जो $5$ से विभाज्य है। अतः,$(a, b) R (a, b)$ सत्य है। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममितता: मान लीजिए $(a, b) R (c, d)$ है। तो किसी पूर्णांक $k$ के लिए $ad - bc = 5k$ है। यह दर्शाता है कि $bc - ad = 5(-k)$,जो भी $5$ से विभाज्य है। अतः,$(c, d) R (a, b)$ सत्य है। इसलिए,$R$ सममित है।$3$. संक्रामकता: $(3, 1) R (10, 5)$ पर विचार करें क्योंकि $3(5) - 1(10) = 5$,जो $5$ से विभाज्य है। साथ ही,$(10, 5) R (1, 1)$ क्योंकि $10(1) - 5(1) = 5$,जो $5$ से विभाज्य है। हालाँकि,$(3, 1)$ और $(1, 1)$ के लिए,$3(1) - 1(1) = 2$ होता है,जो $5$ से विभाज्य नहीं है। अतः,$(3, 1)$,$(1, 1)$ से संबंधित नहीं है। इसलिए,$R$ संक्रामक नहीं है।

मान लीजिए कि $R$,$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ पर एक संबंध है जो $(a, b) R (c, d)$ द्वारा परिभाषित है यदि और केवल यदि $ad - bc$,$5$ से विभाज्य है। तो $R$ है

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समुच्चय $A$ पर परिभाषित संबंध $R$ प्रति-सममित (anti-symmetric) है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ का तात्पर्य है:

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