मान लीजिए O मूल बिंदु है,और M तथा N रेखाओं fr | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए रेखाएं $L_1: \frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}=\lambda$ और $L_2: \frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}=\mu$ हैं।$L_1$ पर क

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$9$

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(B) मान लीजिए रेखाएं $L_1: \frac{x-5}{4}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{3}=\lambda$ और $L_2: \frac{x+8}{12}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+11}{9}=\mu$ हैं।$L_1$ पर कोई बिंदु $M(4\lambda+5, \lambda+4, 3\lambda+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $N(12\mu-8, 5\mu-2, 9\mu-11)$ है।सदिश $\overrightarrow{MN} = (12\mu-4\lambda-13, 5\mu-\lambda-6, 9\mu-3\lambda-16)$ है।दिशा सदिश $\vec{b}_1 = (4, 1, 3)$ और $\vec{b}_2 = (12, 5, 9)$ हैं।न्यूनतम दूरी सदिश $\overrightarrow{MN}$,$\vec{b}_1$ और $\vec{b}_2$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।$\vec{b}_1 	imes \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & 1 & 3 \ 12 & 5 & 9 \end{vmatrix} = -6\hat{i} + 0\hat{j} + 8\hat{k}$ है।चूंकि $\overrightarrow{MN}$,$\vec{b}_1 	imes \vec{b}_2$ के समानांतर है,इसलिए $\frac{12\mu-4\lambda-13}{-6} = \frac{5\mu-\lambda-6}{0} = \frac{9\mu-3\lambda-16}{8}$ प्राप्त होता है।मध्य पद से,$5\mu-\lambda-6=0 \implies \lambda = 5\mu-6$ मिलता है।इस मान को अनुपात में रखने पर: $8(12\mu-4(5\mu-6)-13) = -6(9\mu-3(5\mu-6)-16) \implies 8(-8\mu+11) = -6(-6\mu+2) \implies -64\mu+88 = 36\mu-12 \implies 100\mu = 100 \implies \mu=1$ प्राप्त होता है।अतः $\lambda = 5(1)-6 = -1$ है।इस प्रकार,$M = (1, 3, 2)$ और $N = (4, 3, -2)$ है।अंत में,$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = (1)(4) + (3)(3) + (2)(-2) = 4 + 9 - 4 = 9$ है।

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