ધારો કે Y=Y(X) પ્રથમ ચરણમાં આવેલો એક વક્ર છે, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ છે.$X=0$ માટે,$Y=y-x Y^{\prime}(x)$.$Y=0$ માટે,$X=x-\frac{y}{Y^{\prime}(x)}$.સ્પર્શક

Vedclass · Accepted Answer

$20$

Vedclass · Answer

(A) બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ છે.$X=0$ માટે,$Y=y-x Y^{\prime}(x)$.$Y=0$ માટે,$X=x-\frac{y}{Y^{\prime}(x)}$.સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \left| x - \frac{y}{Y^{\prime}(x)} ight| \left| y - x Y^{\prime}(x) ight|$ છે.વક્ર પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી અને ક્ષેત્રફળ $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ આપેલ હોવાથી:$A = \frac{1}{2} \left( \frac{x Y^{\prime}(x) - y}{Y^{\prime}(x)} ight) (y - x Y^{\prime}(x)) = \frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)} + 1$.$2 Y^{\prime}(x)$ વડે ગુણતા:$-(y - x Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.$-y^2 + 2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = -y^2 + 2 Y^{\prime}(x)$.$2xy Y^{\prime}(x) - x^2 (Y^{\prime}(x))^2 = 2 Y^{\prime}(x)$.$Y^{\prime}(x) 
eq 0$ હોવાથી,$Y^{\prime}(x)$ વડે ભાગતા:$2xy - x^2 Y^{\prime}(x) = 2$.$Y^{\prime}(x) = \frac{2xy - 2}{x^2} = \frac{2y}{x} - \frac{2}{x^2}$.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x} y = -\frac{2}{x^2}$.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.ઉકેલ $y \cdot \frac{1}{x^2} = \int \left( -\frac{2}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} ight) dx = \int -2 x^{-4} dx = \frac{2}{3} x^{-3} + C$.$y = \frac{2}{3x} + C x^2$.$Y(1)=1$ આપેલ છે,તેથી $1 = \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{1}{3}$.આમ,$Y(x) = \frac{2}{3x} + \frac{x^2}{3}$.$Y(2) = \frac{2}{3(2)} + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$.$12 Y(2) = 12 	imes \frac{5}{3} = 20$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{\tan x}{2y}$,જ્યાં $0 \le x < \frac{\pi}{2}$,અને $y(0) = 1$ હોય,તેનો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

પ્રાથમિક સંકલન સમીકરણ $ydx + y^2dy = xdy$ ; $x \in R$,$y > 0$,$y = y(x)$,$y(1) = 1$ માટે,$y(-3)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - \frac{3x^2y}{1+x^3} = \frac{\sin^2(x)}{1+x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module