मान लीजिए कि f: R rightarrow (0, infty) एक नि | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ दी गई है।चूं

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(B) दिया गया है कि $f: R \rightarrow (0, \infty)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।हमें सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7 x)}{f(x)}=1$ दी गई है।चूंकि $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है और $x > 0$ के लिए $x असमिका को $f(x) > 0$ से विभाजित करने पर,हमें $1 $x \rightarrow \infty$ पर सीमा लेने पर,हमें $\lim _{x \rightarrow \infty} 1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(7x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।दी गई सीमा का मान रखने पर,$1 \leq \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} \leq 1$ प्राप्त होता है।स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(5x)}{f(x)} = 1$ होगा।अतः,$\lim _{x \rightarrow \infty} \left[\frac{f(5x)}{f(x)} - 1\right] = 1 - 1 = 0$ होगा।

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$x \rightarrow 0$ होने पर $x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right)$ की सीमा ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\left( {\frac{{x - \sin x}}{x}} \right)\,\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$

$\operatorname{Lim}_{n}$ ${\rightarrow \infty} \left\{ \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{3}}\right) \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{5}}\right) \dots \left(2^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2n+1}}\right) \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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