x rightarrow 0 होने पर x sin left(e^{frac{1}{ | vedclass

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Question

(A) हमें $\lim_{x ightarrow 0} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}ight)$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि किसी भी वास्तविक $	heta$ के लिए $-1 \leq \sin 	heta

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$0$ के बराबर है

Vedclass · Answer

(A) हमें $\lim_{x ightarrow 0} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}ight)$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि किसी भी वास्तविक $	heta$ के लिए $-1 \leq \sin 	heta \leq 1$ होता है, इसलिए $-1 \leq \sin \left(e^{\frac{1}{x}}ight) \leq 1$ होगा।$x$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $x > 0$): $-x \leq x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}ight) \leq x$।जैसे ही $x ightarrow 0^+$, $-x$ और $x$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं। स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार, $\lim_{x ightarrow 0^+} x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}ight) = 0$।$x  0$। जैसे ही $x ightarrow 0^-$, $h ightarrow 0^+$।व्यंजक $\lim_{h ightarrow 0^+} (-h) \sin \left(e^{-\frac{1}{h}}ight)$ बन जाता है।जैसे ही $h ightarrow 0^+$, $e^{-\frac{1}{h}} ightarrow e^{-\infty} = 0$, इसलिए $\sin \left(e^{-\frac{1}{h}}ight) ightarrow \sin(0) = 0$।अतः, $\lim_{h ightarrow 0^+} (-h) \cdot 0 = 0$।चूंकि बायां सीमा और दायां सीमा दोनों $0$ हैं, इसलिए सीमा का अस्तित्व है और यह $0$ के बराबर है।

$x \rightarrow 0$ होने पर $x \sin \left(e^{\frac{1}{x}}\right)$ की सीमा ज्ञात कीजिए।

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