मान लीजिए A=I_2-2 MM^{T},जहाँ M क्रम 2 times | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A=I_2-2 MM^{T}$,जहाँ $M^T M=I_1=1$.सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:$A^2 = (I_2-2 MM^{T})(I_2-2 MM^{T})$$= I_2 - 2 MM^{T} - 2 MM^{

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$2$

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(B) दिया गया है $A=I_2-2 MM^{T}$,जहाँ $M^T M=I_1=1$.सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:$A^2 = (I_2-2 MM^{T})(I_2-2 MM^{T})$$= I_2 - 2 MM^{T} - 2 MM^{T} + 4 MM^{T} MM^{T}$चूँकि $M^T M = 1$,इसलिए $M^T M M^T = (M^T M) M^T = 1 \cdot M^T = M^T$.अतः,$A^2 = I_2 - 4 MM^{T} + 4 M(M^T M) M^T = I_2 - 4 MM^{T} + 4 MM^{T} = I_2$.शून्येतर आव्यूह $X$ के लिए $AX = \lambda X$ दिया गया है,इसलिए:$A^2 X = A(\lambda X) = \lambda(AX) = \lambda^2 X$.चूँकि $A^2 = I_2$,हमारे पास $I_2 X = \lambda^2 X$ है,जिसका अर्थ है $X = \lambda^2 X$.चूँकि $X 
eq 0$,इसलिए $\lambda^2 = 1$ होना चाहिए,अर्थात $\lambda = 1$ या $\lambda = -1$.$\lambda$ के संभावित मान $1$ और $-1$ हैं।$\lambda$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $(1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$ है।

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यदि आव्यूह $M_r$ को $r = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $M_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है, तो $\det(M_1) + \det(M_2) + \ldots + \det(M_{2008}) = $

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