मान लीजिए g(x) = log(f(x)) जहाँ f(x),(0, inft | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $g(x) = \log(f(x))$ और $f(x+1) = x f(x)$।दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$।इसका अर्थ है $g(x+1) = g

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$-4\left\{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\ldots+\frac{1}{(2N-1)^2}\right\}$

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(A) दिया गया है $g(x) = \log(f(x))$ और $f(x+1) = x f(x)$।दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(f(x+1)) = \log(x) + \log(f(x))$।इसका अर्थ है $g(x+1) = g(x) + \log(x)$,या $g(x+1) - g(x) = \log(x)$।$x$ के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,हमें $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है।हमें $g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)$ ज्ञात करना है।हम इसे एक टेलीस्कोपिंग योग के रूप में लिख सकते हैं:$g^{\prime \prime}\left(N+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{N} \left[ g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) \right]$।संबंध $g^{\prime \prime}(x+1) - g^{\prime \prime}(x) = -\frac{1}{x^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $x = k - \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करते हैं:$g^{\prime \prime}\left(k+\frac{1}{2}\right) - g^{\prime \prime}\left(k-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(k-\frac{1}{2})^2} = -\frac{1}{(\frac{2k-1}{2})^2} = -\frac{4}{(2k-1)^2}$।$k=1$ से $N$ तक योग करने पर:$\sum_{k=1}^{N} -\frac{4}{(2k-1)^2} = -4 \left[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right]$।यह $-4 \left\{ 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots + \frac{1}{(2N-1)^2} \right\}$ में सरल हो जाता है।

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