मान लीजिए P समतल sqrt{3} x+2 y+3 z=16 है और S | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\overrightarrow{u}|$,अतः $	riangle UVW$ एक समबाहु त्रिभुज है।मान लीजिए $O$ मूलबिंदु

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$45$

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(B) दिया गया है कि $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\overrightarrow{u}|$,अतः $	riangle UVW$ एक समबाहु त्रिभुज है।मान लीजिए $O$ मूलबिंदु है। सदिश $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए वे $O$ पर केंद्रित $1$ त्रिज्या वाले गोले पर स्थित हैं।समतल $P: \sqrt{3}x + 2y + 3z = 16$ की मूलबिंदु $O(0,0,0)$ से दूरी $OQ = \frac{|0+0+0-16|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{3+4+9}} = \frac{16}{4} = 4$ है।$S$ में किसी भी बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की समतल $P$ से दूरी $\frac{7}{2}$ दी गई है। मान लीजिए $Q$,$O$ का $P$ पर प्रक्षेप है। चूँकि $U, V, W$ समतल $P$ से समान दूरी पर हैं,वे एक वृत्त पर स्थित हैं जो गोले और $P$ के समानांतर एक समतल के प्रतिच्छेदन से बनता है। मान लीजिए यह समतल $P'$ है। $O$ से $P'$ की दूरी $OP = OQ - PQ = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$ है।गोले और समतल $P'$ के प्रतिच्छेदन से बने वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।चूँकि $	riangle UVW$ समबाहु है और $R$ त्रिज्या वाले इस वृत्त में अंतर्निहित है,इसकी भुजा की लंबाई $a = 2R \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ है।$	riangle UVW$ का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ है।शीर्षों $O, U, V, W$ वाले चतुष्फलक का आयतन $= \frac{1}{3} 	imes 	ext{Area}(	riangle UVW) 	imes OP = \frac{1}{3} 	imes \frac{9\sqrt{3}}{16} 	imes \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$ है।$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $V = 6 	imes 	ext{चतुष्फलक का आयतन} = 6 	imes \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ है।अतः,$\frac{80}{\sqrt{3}} V = \frac{80}{\sqrt{3}} 	imes \frac{9\sqrt{3}}{16} = 5 	imes 9 = 45$।

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यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?

रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{2}$ और समतल $2x + 2y - z = 6$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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