मान लीजिए f एक फलन है जो R (सभी वास्तविक संख् | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x) = \ln(g(x))$,इसलिए $g(x) = e^{f(x)}$.अवकलन करने पर,$g^{\prime}(x) = e^{f(x)} \cdot f^{\prime}(x)$.चूंकि सभी $x \in R$ के लिए

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$1$

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(B) दिया गया है कि $f(x) = \ln(g(x))$,इसलिए $g(x) = e^{f(x)}$.अवकलन करने पर,$g^{\prime}(x) = e^{f(x)} \cdot f^{\prime}(x)$.चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{f(x)} > 0$ है,इसलिए $g^{\prime}(x)$ का चिह्न $f^{\prime}(x)$ के चिह्न के समान होगा।$f^{\prime}(x) = 2010(x-2009)(x-2010)^2(x-2011)^3(x-2012)^4$.क्रांतिक बिंदु $x = 2009, 2010, 2011, 2012$ हैं।इन बिंदुओं पर $f^{\prime}(x)$ के चिह्न में परिवर्तन का विश्लेषण करते हैं:- $x = 2009$ पर: $(x-2009)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। $f^{\prime}(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। यह एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।- $x = 2010$ पर: $(x-2010)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है। $f^{\prime}(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है। यह एक नति परिवर्तन बिंदु है।- $x = 2011$ पर: $(x-2011)^3$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है। $f^{\prime}(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। यह एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है।- $x = 2012$ पर: $(x-2012)^4$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है। $f^{\prime}(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है। यह एक नति परिवर्तन बिंदु है।अतः,$g(x)$ का स्थानीय उच्चतम मान केवल $x = 2011$ पर है। ऐसे बिंदुओं की संख्या $1$ है।

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$\alpha \in R$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $4 \alpha x^2 + \frac{1}{x} \geq 1$,सभी $x > 0$ के लिए सत्य हो।

यदि $A=\{x : 9x \geq x^2+20\}$ और $f: A \rightarrow R$ को $f(x)=2x^3-15x^2+36x-48$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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