मान लीजिए कि $M$ और $N$ दो $3 \times 3$ नॉन-सिंगुलर विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $MN = NM$ है। यदि $P^T$,$P$ का परिवर्त (transpose) दर्शाता है,तो $M^2 N^2 (M^T N)^{-1} (M N^{-1})^T$ किसके बराबर है?

निम्नलिखित में से कौन सा $3 \times 3$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले आव्यूह का वर्ग $NOT$ है?

मान लीजिए कि $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए कि $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $\operatorname{Tr}(A)$,$A$ के विकर्ण प्रविष्टियों का योग दर्शाता है। मान लीजिए कि $A^2=I$.
कथन $I$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{det}(A) = -1$ है।
कथन $II$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{Tr}(A) \neq 0$ है।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{51} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो आव्यूह $\sum_{n=1}^{50} B^n$ के सभी अवयवों का योग क्या होगा?

मान लीजिए $S$ उन सभी $3 \times 3$ आव्यूहों का समुच्चय है जिनके अवयव $\{-1, 0, 1\}$ में से हैं। उन आव्यूहों $A \in S$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $A^{T}A$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग $6$ है।

$i=1, 2, 3$ और $j=1, 2, 3$ के लिए। यदि $a_i^2+b_i^2+c_i^2=1$,$a_i a_j+b_i b_j+c_i c_j=0$,$\forall i \neq j$ और $A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ है,तो $\det(AA^T)=$