ધારો કે f : R rightarrow R અને g : R rightarr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$. બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા $1 + f(x+y) = (1 + f(x))(1 + f(y))$ મળે છે.ધારો કે $h(x) = 1 + f(x)$. તો $h(x+y

Vedclass · Accepted Answer

$A, B, D$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$. બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા $1 + f(x+y) = (1 + f(x))(1 + f(y))$ મળે છે.ધારો કે $h(x) = 1 + f(x)$. તો $h(x+y) = h(x)h(y)$.કારણ કે $f(x) = xg(x)$ અને $\lim_{x 	o 0} g(x) = 1$,તેથી $\lim_{x 	o 0} f(x) = 0$,એટલે કે $h(0) = 1 + f(0) = 1$.$h(x+y) = h(x)h(y)$ માટે,ઉકેલ $h(x) = e^{cx}$ છે.આમ $1 + f(x) = e^{cx}$,અથવા $f(x) = e^{cx} - 1$.આપેલ છે કે $f(x) = xg(x)$,તેથી $g(x) = \frac{e^{cx}-1}{x}$.$\lim_{x 	o 0} g(x) = \lim_{x 	o 0} \frac{e^{cx}-1}{x} = c$.કારણ કે $\lim_{x 	o 0} g(x) = 1$,તેથી $c = 1$.તેથી,$f(x) = e^x - 1$.$f'(x) = e^x$,જે તમામ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $(A)$ $TRUE$ છે.$f'(0) = e^0 = 1$,તેથી $(D)$ $TRUE$ છે.$f'(1) = e^1 = e 
eq 1$,તેથી $(C)$ $FALSE$ છે.$g(x) = \frac{e^x-1}{x}$ માટે જ્યારે $x 
eq 0$ અને $g(0)=1$,$g$ એ તમામ $x 
eq 0$ માટે વિકલનીય છે. $x=0$ આગળ,$g'(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{\frac{e^h-1}{h}-1}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{e^h-1-h}{h^2} = \frac{1}{2}$. આમ $g$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે,તેથી $(B)$ $TRUE$ છે.

Similar Questions

જો $f(x) = \begin{cases} x^2 \left| \cos \frac{\pi}{x} \right|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ હોય, તો $x = 2$ આગળ $f(x)$ એ

જો $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 2x - 1, & x \ge 2 \end{cases}$ હોય,તો $f'(2)$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $f(x) = \operatorname{Max}\{\cos x, \sin x, 0\}$. જો $(0, 2024 \pi)$ અંતરાલમાં $f(x)$ વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા $1012 k$ હોય,તો $k =$

જો $f(x) = |x - 3|,$ હોય,તો $f$ એ

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module