मान लीजिए P,बिंदु Q(10,-3,-1) से रेखा frac{x- | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2} = \lambda$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(7\lambda+3, -\lambda+2, -2\lambda-1)$ है।चूं

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$3 \sqrt{30}$

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(D) मान लीजिए रेखा $L: \frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2} = \lambda$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(7\lambda+3, -\lambda+2, -2\lambda-1)$ है।चूंकि $P$,बिंदु $Q(10,-3,-1)$ से रेखा पर लंब का पाद है,सदिश $\vec{QP}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = 7\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।$\vec{QP} = (7\lambda+3-10)\hat{i} + (-\lambda+2+3)\hat{j} + (-2\lambda-1+1)\hat{k} = (7\lambda-7)\hat{i} + (-\lambda+5)\hat{j} - 2\lambda\hat{k}$.चूंकि $\vec{QP} \cdot \vec{v} = 0$,हमें मिलता है $7(7\lambda-7) - 1(-\lambda+5) - 2(-2\lambda) = 0$.$49\lambda - 49 + \lambda - 5 + 4\lambda = 0 \Rightarrow 54\lambda - 54 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.अतः,$P = (7(1)+3, -1+2, -2(1)-1) = (10, 1, -3)$.अब,$\vec{PQ} = (10-10)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (-1-(-3))\hat{k} = -4\hat{j} + 2\hat{k}$.और $\vec{PR} = (3-10)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.$	riangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{PQ} 	imes \vec{PR}|$.$\vec{PQ} 	imes \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & -4 & 2 \ -7 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-16 - (-6)) - \hat{j}(0 - (-14)) + \hat{k}(0 - 28) = -10\hat{i} - 14\hat{j} - 28\hat{k}$.परिमाण $|\vec{PQ} 	imes \vec{PR}| = \sqrt{(-10)^2 + (-14)^2 + (-28)^2} = \sqrt{100 + 196 + 784} = \sqrt{1080} = \sqrt{36 	imes 30} = 6\sqrt{30}$.क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 6\sqrt{30} = 3\sqrt{30}$.

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सिद्ध कीजिए कि $A(0,-1,-1)$ और $B(4,5,1)$ से होकर जाने वाली रेखा,$C(3,9,4)$ और $D(-4,4,4)$ से होकर जाने वाली रेखा को प्रतिच्छेद करती है।

यदि बिंदु $(4,4,3)$ का रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}$ में प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

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सरल रेखाओं $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 3}{-3}$ और $\frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 5}{4}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाएँ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + a}{p}$ और $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z + 5}{2}$ परस्पर लंबवत और समतलीय हैं,तो $a + p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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