ધારો કે $M$ અને $m$ એ $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1+\sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & 1+\cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1+4\sin 4x \end{array} \right|$,$x \in R$ ના અનુક્રમે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો છે. તો $M^4 - m^4$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ અને $C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ છે. જો $a, b$ અને $c$ અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ ના શ્રેણિકના ક્રમ (rank) દર્શાવતા હોય,તો આ સંખ્યાઓનો સાચો ક્રમ કયો છે?

$AX=O$ દ્વારા દર્શાવેલ ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સમાંગ પ્રણાલી ધ્યાનમાં લો. જો $X=\left[\begin{array}{c}l \\ m \\ 0\end{array}\right]$, જ્યાં $l \neq 0, m \neq 0, l, m \in \mathbb{R}$, આ પ્રણાલીના અનંત ઉકેલો દર્શાવે છે, તો $A$ નો શ્રેણીક (rank) કેટલો હશે?

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos^2 x & \sin 2x & \sin x \\ \sin 2x & 2 \sin^2 x & -\cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ હોય, તો $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2|f(x)| + 5f'(x)) \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$ હોય, તો $\frac{d}{dx}(f(x))$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ હોય, તો $f^{\prime}(\pi)$ ની કિંમત શોધો.