मान लीजिए f: R rightarrow R एक दो बार अवकलनीय | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f(2x+2y)(\sin x \c

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$-3$

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(B) दिया गया समीकरण: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f(2x+2y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = f(2x-2y)(\sin x \cos y + \cos x \sin y)$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $f(2x+2y)\sin(x-y) = f(2x-2y)\sin(x+y)$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{f(2x+2y)}{\sin(x+y)} = \frac{f(2x-2y)}{\sin(x-y)}$.मान लीजिए $2x+2y = m$ और $2x-2y = n$. तब $x+y = m/2$ और $x-y = n/2$.समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{f(m)}{\sin(m/2)} = \frac{f(n)}{\sin(n/2)} = K$ (एक स्थिरांक).अतः,$f(x) = K \sin(x/2)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{K}{2} \cos(x/2)$.दिया गया है कि $f'(0) = 1/2$,इसलिए $\frac{K}{2} \cos(0) = 1/2$,जिसका अर्थ है $K = 1$.अतः,$f(x) = \sin(x/2)$.अब $f'(x) = \frac{1}{2} \cos(x/2)$ और $f''(x) = -\frac{1}{4} \sin(x/2)$.हमें $24f''\left(\frac{5\pi}{3}ight) = 24 \left(-\frac{1}{4} \sin\left(\frac{5\pi}{6}ight)ight)$ ज्ञात करना है।चूंकि $\sin(5\pi/6) = 1/2$,इसलिए मान $24 \left(-\frac{1}{4} 	imes \frac{1}{2}ight) = 24 \left(-\frac{1}{8}ight) = -3$ है।

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ऐसे फलनों $f : \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{ a \in \mathbb{Z} : |a| \leq 8 \}$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो सभी $n \in \{1, 2, 3\}$ के लिए $f(n) + \frac{1}{n} f(n+1) = 1$ को संतुष्ट करते हैं।

मान लीजिए $f: R-\{0\} \rightarrow R$ एक फलन है जो सभी $x, y$ के लिए $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(y) \neq 0$ है। यदि $f^{\prime}(1)=2024$ है,तो:

यदि $f(x)$ एक बहुपद फलन है जो $f(x) \cdot f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$ को संतुष्ट करता है और $f(4) = 65$ है,तो $f(6)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f : R \rightarrow (0, \infty)$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $5f(x + y) = f(x) \cdot f(y), \forall x, y \in R$। यदि $f(3) = 320$ है,तो $\sum_{n=0}^5 f(n)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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