माना A = begin{bmatrix} alpha & -1 6 & beta | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\operatorname{det}(A) = 0$,इसलिए $\alpha \beta - (-6) = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha \beta = -6$। दिया गया है कि $\alpha + \beta = 1$,

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$\begin{bmatrix} 766 & -255 \ 1530 & -509 \end{bmatrix}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $\operatorname{det}(A) = 0$,इसलिए $\alpha \beta - (-6) = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha \beta = -6$। दिया गया है कि $\alpha + \beta = 1$,इसलिए हम द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ को हल करते हैं,जो $x^2 - x - 6 = 0$ है। गुणनखंड करने पर $(x - 3)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 3$ या $x = -2$ है। चूंकि $\alpha > 0$ है,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = -2$ है। अतः,$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \ 6 & -2 \end{bmatrix}$। $A^2$ की गणना करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -1 \ 6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-6 & -3+2 \ 18-12 & -6+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \ 6 & -2 \end{bmatrix} = A$। चूंकि $A^2 = A$ है,इसलिए सभी $n \geq 1$ के लिए $A^n = A$ होता है। द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर: $(I + A)^8 = I + \binom{8}{1}A + \binom{8}{2}A^2 + \dots + \binom{8}{8}A^8$। चूंकि $k \geq 1$ के लिए $A^k = A$ है,इसलिए $(I + A)^8 = I + A(\binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \dots + \binom{8}{8})$। योग $\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$ है। अतः,$(I + A)^8 = I + 255A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} + 255 \begin{bmatrix} 3 & -1 \ 6 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 765 & 0 - 255 \ 0 + 1530 & 1 - 510 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 766 & -255 \ 1530 & -509 \end{bmatrix}$।

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