मान लीजिए f(x) + 2fleft(frac{1}{x}right) = x^ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 5$। $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,$f\left(\frac{1}{x}\right) + 2f(x) = \frac

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$11$

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(D) दिया गया है $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2 + 5$। $x$ को $\frac{1}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर,$f\left(\frac{1}{x}\right) + 2f(x) = \frac{1}{x^2} + 5$ प्राप्त होता है। इन समीकरणों को हल करने पर $f(x) = \frac{2x^2}{3} - \frac{1}{3x^2} + \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है। $\alpha = \int_1^2 \left(\frac{2x^2}{3} - \frac{1}{3x^2} + \frac{5}{3}\right) dx$ का समाकलन करने पर $\alpha = \frac{19}{6}$ प्राप्त होता है। इसी प्रकार $g(x)$ के लिए हल करने पर $g(x) = -\frac{2x}{5} - \frac{3}{5x}$ प्राप्त होता है। $\beta = \int_1^2 (-\frac{2x}{5} - \frac{3}{5x}) dx$ का समाकलन करने पर $\beta = -\frac{3}{5} - \frac{3}{5}\ln 2$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$9\alpha + \beta$ का मान $11$ है।

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मान लीजिए $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। यदि $\int_0^{e^3}\left[\frac{1}{e^{x-1}}\right] d x=\alpha-\log _e 2$ है,तो $\alpha^3$ का मान . . . . . . है।

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