मान लीजिए कि R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच् | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $h(x) = f(g^{-1}(x))$ है। हमें $h'(2) = f'(g^{-1}(2)) \cdot (g^{-1})'(2)$ ज्ञात करना है।सबसे पहले,$g^{-1}(2)$ ज्ञात करें। चूँकि $g(0) =

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$0.25$

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(B) मान लीजिए $h(x) = f(g^{-1}(x))$ है। हमें $h'(2) = f'(g^{-1}(2)) \cdot (g^{-1})'(2)$ ज्ञात करना है।सबसे पहले,$g^{-1}(2)$ ज्ञात करें। चूँकि $g(0) = \frac{4}{1 + e^0} = \frac{4}{2} = 2$,इसलिए $g^{-1}(2) = 0$ है।इसके बाद,$f'(x) = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 4}$ ज्ञात करें। अतः,$f'(0) = \frac{2}{4} = 0.5$ है।अब,$(g^{-1})'(2)$ ज्ञात करें। हम जानते हैं कि $(g^{-1})'(g(x)) = \frac{1}{g'(x)}$ होता है।$g'(x) = \frac{4 \cdot (-1) \cdot e^{-2x} \cdot (-2)}{(1 + e^{-2x})^2} = \frac{8e^{-2x}}{(1 + e^{-2x})^2}$ है।$x = 0$ पर,$g'(0) = \frac{8(1)}{(1 + 1)^2} = \frac{8}{4} = 2$ है।इसलिए,$(g^{-1})'(2) = \frac{1}{g'(0)} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।अंत में,$h'(2) = f'(0) \cdot (g^{-1})'(2) = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$ है।

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मान लीजिए $S = \{a, b, c\}$ और $T = \{1, 2, 3\}$ है। $S$ से $T$ तक निम्नलिखित फलन $F$ का $F^{-1}$ ज्ञात कीजिए,यदि यह मौजूद है: $F = \{(a, 3), (b, 2), (c, 1)\}$.

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दर्शाइए कि $f:[-1,1] \rightarrow R$,जो $f(x)=\frac{x}{x+2}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी (one-one) है। फलन $f:[-1,1] \rightarrow \text{Range } f$ का प्रतिलोम (inverse) ज्ञात कीजिए।

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