मान लीजिए f(x) = frac{x}{sqrt{a^2+x^2}} - fra | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$.यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ वर्धमान है या ह्रासमान,हम इसका अ

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$f$ $x$ का एक वर्धमान फलन है।

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(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$.यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x)$ वर्धमान है या ह्रासमान,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।भागफल नियम $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}) = \frac{1 \cdot \sqrt{a^2+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} = \frac{a^2+x^2-x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $u = d-x$,तो $\frac{d}{dx}(-\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) = -\frac{d}{du}(\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{b^2}{(b^2+u^2)^{3/2}} \cdot (-1) = \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.अतः,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.चूंकि $a^2 > 0$ और $b^2 > 0$,पद $(a^2+x^2)^{3/2}$ और $(b^2+(d-x)^2)^{3/2}$ हमेशा धनात्मक हैं।इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।चूंकि $f'(x) > 0$,$f(x)$ $x$ का एक वर्धमान फलन है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$,$x \in R$,जहाँ $a, b, d$ शून्येतर वास्तविक स्थिरांक हैं। तो

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