मान लीजिए A = {x in R mid x text{ एक धनात्मक | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x}{x-1}$।एकैकी फलन की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(

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एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

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(D) दिया गया है $f(x) = \frac{2x}{x-1}$।एकैकी फलन की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{(x-1)(2) - 2x(1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$।चूंकि प्रत्येक $x \in A$ के लिए $f'(x) आच्छादक फलन की जाँच करने के लिए,मान लीजिए $f(x) = y$। तब $y = \frac{2x}{x-1} \Rightarrow yx - y = 2x \Rightarrow x(y-2) = y \Rightarrow x = \frac{y}{y-2}$।यदि $f$ आच्छादक है,तो प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$A$ में एक ऐसा $x$ होना चाहिए कि $f(x) = y$।यदि $y = 2$ है,तो $x = \frac{2}{0}$ प्राप्त होता है जो अपरिभाषित है। अतः,$2$ का $A$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है।इसके अलावा,यदि $y = 4$ है,तो $x = \frac{4}{4-2} = 2$। लेकिन $2$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $2 
otin A$।चूंकि सह-प्रांत $R$ में ऐसे अवयव मौजूद हैं जिनका $A$ में कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं है,इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

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यदि $n(A) = 5$ और $n(B) = 8$ है,तो $A$ से $B$ तक कितने संभव फलन परिभाषित किए जा सकते हैं?

यदि $g \circ f$ आच्छादक (onto) है,तो क्या $f$ और $g$ दोनों का आच्छादक होना आवश्यक है?

मान लीजिए कि एक फलन $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} 2n, & n = 2, 4, 6, 8, \dots \\ n-1, & n = 3, 7, 11, 15, \dots \\ \frac{n+1}{2}, & n = 1, 5, 9, 13, \dots \end{cases}$
तो,$f$ है

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