ધારો કે f: R rightarrow R એ એક વિકલનીય વિધેય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) \cdot f(y)$ છે.$x=0$ અને $y=0$ મુકતા,આપણને મળે $f(0)=f(0) \cdot f^{\prime}(0)+f^{

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x+y)=f(x) \cdot f^{\prime}(y)+f^{\prime}(x) \cdot f(y)$ છે.$x=0$ અને $y=0$ મુકતા,આપણને મળે $f(0)=f(0) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(0) \cdot f(0) = 2 f(0) \cdot f^{\prime}(0)$.$f(0)=1$ હોવાથી,$1 = 2(1) \cdot f^{\prime}(0)$,જેનો અર્થ છે કે $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$.હવે,$x$ ને ચલ તરીકે રાખીને $y=0$ મુકતા,આપણને મળે $f(x+0)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)+f^{\prime}(x) \cdot f(0)$.$f(0)=1$ અને $f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ મુકતા,આપણને મળે $f(x) = f(x) \cdot \frac{1}{2} + f^{\prime}(x) \cdot 1$.આનું સાદું રૂપ $f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} f(x)$ અથવા $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$ થાય છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{2} dx$,જેનું પરિણામ $\log(f(x)) = \frac{1}{2}x + C$ મળે છે.$f(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log(1) = 0 + C$,તેથી $C=0$.આમ,$\log(f(x)) = \frac{1}{2}x$.$x=4$ માટે,$\log(f(4)) = \frac{1}{2} 	imes 4 = 2$.

Similar Questions

જો $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4+5 \sin x}{5+4 \sin x}\right)$ હોય,તો $\frac{dy}{dx}$ શોધો.

જો $3 f(\cos x) + 2 f(\sin x) = 5 x$ હોય,તો $f^{\prime}(\cos x) + f^{\prime}(\sin x) =$

જો $\log _{10}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=2$ હોય,તો $\frac{dy}{dx} = \dots$

જો $-1 < x < 1$ માટે $x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}=0$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}$.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module