मान लीजिए L समतलों 2x + 3y + z = 1 और x + 3y | vedclass

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Question

(C) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।चूंकि रेखा $L$ इन दोनो

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$\frac{1}{\sqrt{3}}$

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(C) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।चूंकि रेखा $L$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है,इसलिए यह दोनों अभिलंब सदिशों के लंबवत है।अतः,रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}_1 	imes \vec{n}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 1 \ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.हम दिशा सदिश को सरल करके $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ लिख सकते हैं।रेखा द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष (जो इकाई सदिश $\hat{i}$ द्वारा दर्शाया जाता है) के साथ बनाया गया कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|}$ द्वारा दिया जाता है।अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{u} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.परिमाण की गणना: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} 	imes 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

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