ધારો કે $M$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ સંમિત શ્રેણિક છે. તો $M$ વ્યસ્ત શ્રેણિક હોય જો:

ધારો કે $\det \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^n k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} k^2 \\ \sum_{k=0}^n {^nC_k} k & \sum_{k=0}^n {^nC_k} 3^k \end{bmatrix} = 0$ કોઈ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે સાચું છે. તો $\sum_{k=0}^n \frac{{^nC_k}}{k+1}$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 83 & 74 & 41 \\ 93 & 96 & 31 \\ 24 & 15 & 79 \end{bmatrix}$ હોય,તો $\det(A - A^{T}) = $

જો $\{-1, 0, 1\}$ ગણના ઘટકો ધરાવતા તમામ $3 \times 3$ શૂન્યતર શ્રેણિકોના ગણમાંથી એક શ્રેણિક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો તે શ્રેણિક વિસંમિત (skew-symmetric) હોય તેની સંભાવના કેટલી?

જો $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$ અને જો $|a| < 1, |b| < 1$ હોય,તો $\sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,જ્યાં $\alpha = \alpha(\theta)$ અને $\beta = \beta(\theta)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,અને $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. જો $\alpha^*$ એ ગણ $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય અને $\beta^*$ એ ગણ $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $\alpha^* + \beta^*$ ની કિંમત શોધો.