ધારો કે $x^2+y^2=16$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ છે અને $(4 \sqrt{2}, 3)$ એ અતિવલય પરનું એક બિંદુ છે. તો,અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

ધારો કે $S$ એ રેખાઓની જોડી $4x - 3y = 12\alpha$ અને $4\alpha x + 3\alpha y = 12$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ દર્શાવે છે, જ્યાં $\alpha$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પર બદલાય છે। ધારો કે $T$ એ $S$ ને સ્પર્શતી સ્પર્શક રેખા છે જે બિંદુઓ $(p, 0)$ અને $(0, q)$, $q > 0$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $4x - \frac{3}{\sqrt{2}}y = 0$ ને સમાંતર છે। તો $pq$ નું મૂલ્ય શોધો। ($\sqrt{2}$ માં)

જો અતિવલય $xy=16$ પર બિંદુ $(8,2)$ આગળ દોરેલો અભિલંબ અતિવલયને ફરીથી બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માં મળે,તો $|\beta|+\frac{1}{|\alpha|}=$

જો $P(\frac{\pi}{4})$ અને $Q(\frac{3 \pi}{4})$ એ અતિવલય $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ પરના બે બિંદુઓ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં હોય,તો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

હાયપરબોલા $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ધ્યાનમાં લો જેનું એક નાભિ $P(-3,0)$ પર છે. જો તેના બીજા નાભિમાંથી પસાર થતું લેટસ રેક્ટમ $P$ પર કાટખૂણો બનાવે છે અને $a^2b^2 = \alpha\sqrt{2} - \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta \in N$,તો $\alpha + \beta$ નું મૂલ્ય શોધો.

$16x^2 - 9y^2 - 32x - 36y - 164 = 0$ ના સંયુગ્મી અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?