मान लीजिए A उन सभी 3 times 3 आव्यूहों का समुच | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $M$,$A$ का एक आव्यूह है। आव्यूह $M$ का सारणिक,जिसे $\det(M)$ द्वारा दर्शाया जाता है,केवल $\{ -1, 0, 1 \}$ समुच्चय से ही मान ले सकता है क

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$B$ और $C$ में अवयवों की संख्या समान है

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(C) मान लीजिए $M$,$A$ का एक आव्यूह है। आव्यूह $M$ का सारणिक,जिसे $\det(M)$ द्वारा दर्शाया जाता है,केवल $\{ -1, 0, 1 \}$ समुच्चय से ही मान ले सकता है क्योंकि इसके अवयव $0$ या $1$ हैं। एक आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को आपस में बदलने की प्रक्रिया पर विचार करें। मान लीजिए $M'$,$M$ की दो पंक्तियों को बदलकर प्राप्त आव्यूह है। तो $\det(M') = -\det(M)$ होगा। यदि हम $B$ के किसी आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को बदलते हैं,तो हमें $C$ का एक आव्यूह $M'$ प्राप्त होता है क्योंकि $\det(M') = -\det(M) = -1$। इसी प्रकार,यदि हम $C$ के किसी आव्यूह $M$ की दो पंक्तियों को बदलते हैं,तो हमें $B$ का एक आव्यूह $M'$ प्राप्त होता है क्योंकि $\det(M') = -\det(M) = -(-1) = 1$। यह $B$ और $C$ समुच्चयों के बीच एक एकैकी आच्छादन (bijection) को परिभाषित करता है। अतः,$B$ में अवयवों की संख्या $C$ में अवयवों की संख्या के बराबर है।

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