मान लीजिए कि A वास्तविक प्रविष्टियों वाले सभी | vedclass

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Question

(C) $3 	imes 3$ क्रम का एक अदिश आव्यूह $M$ इस रूप में होता है: $M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \ 0 & m & 0 \ 0 & 0 & m \end{bmatrix}$ जहाँ $m \in R$

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एकैकी और आच्छादक (bijective) है

Vedclass · Answer

(C) $3 	imes 3$ क्रम का एक अदिश आव्यूह $M$ इस रूप में होता है: $M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \ 0 & m & 0 \ 0 & 0 & m \end{bmatrix}$ जहाँ $m \in R$ है। $M$ का सारणिक $\operatorname{det}(M) = m^3$ द्वारा दिया जाता है। अतः,फलन $f: A ightarrow R$ को $f(M) = m^3$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि $f(m) = m^3$ एक निरंतर वर्धमान फलन है,किसी भी $m_1, m_2 \in R$ के लिए,$f(m_1) = f(m_2) \implies m_1^3 = m_2^3 \implies m_1 = m_2$। इसलिए,$f$ एकैकी (injective) है। किसी भी वास्तविक संख्या $y \in R$ के लिए,एक वास्तविक संख्या $m = \sqrt[3]{y}$ मौजूद है ताकि $f(m) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ हो। अतः,$f$ का परिसर $R$ है,जो सह-प्रांत के बराबर है। इसलिए,$f$ आच्छादक (surjective) है। चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह बाइजेक्टिव (bijective) है।

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सिद्ध कीजिए कि फलन $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ जो $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी और आच्छादक फलन है।

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