मान लीजिए N सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) दिया गया फलन $\sigma: N ightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है: $\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & 	ext{यदि } n 	ext{ सम है} \ -\frac{n-1}{

Vedclass · Accepted Answer

$\sigma$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $\sigma: N ightarrow Z$ इस प्रकार परिभाषित है: $\sigma(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & 	ext{यदि } n 	ext{ सम है} \ -\frac{n-1}{2} & 	ext{यदि } n 	ext{ विषम है} \end{cases}$ स्थिति-$I$: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k) = \frac{2k}{2} = k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $1, 2, 3, \dots$ (सभी धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है। स्थिति-$II$: यदि $n$ विषम है,तो $n = 2k-1$ लें जहाँ $k \in N$ है। तब $\sigma(2k-1) = -\frac{(2k-1)-1}{2} = -\frac{2k-2}{2} = -(k-1) = 1-k$। जैसे-जैसे $k$ का मान $1, 2, 3, \dots$ होता है,$\sigma(n)$ का मान $0, -1, -2, \dots$ (सभी गैर-धनात्मक पूर्णांक) प्राप्त होता है। दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$\sigma$ का परिसर ${0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots} = Z$ है। चूँकि प्रत्येक अलग $n \in N$ के लिए $Z$ में एक अलग पूर्णांक प्राप्त होता है,इसलिए फलन एकैकी (one-one) है। चूँकि $\sigma$ का परिसर उसके सह-प्रांत $Z$ के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक (onto) है। अतः,$\sigma$ एकैकी और आच्छादक फलन है।

Similar Questions

निम्नलिखित में से कौन सा फलन एकैकी (injective) है लेकिन आच्छादक (surjective) नहीं है?

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=2x+\sin x, x \in R$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $f$ है

फलन $f: Z \rightarrow Z$ के लिए $f(x) = x^{2}$ द्वारा परिभाषित फलन की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

दर्शाइए कि फलन $f: R \rightarrow R$ जो $f(x) = x^{2}$ द्वारा परिभाषित है,न तो एकैकी (one-one) है और न ही आच्छादक (onto) है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x^{4}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module