मान लीजिए $P, Q, R, S$ वृत्त $x^2+y^2=4$ और अतिपरवलय $xy=\sqrt{3}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि $P=(\alpha, \beta)$ और $\alpha>\beta>0$ है,तो अतिपरवलय पर $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

यदि $ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$ अतिपरवलय $16x^{2}-9y^{2}=144$ की नियताओं (directrices) का संयुक्त समीकरण है,तो $g+f-c=$

मान लीजिए $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ और $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ जहाँ $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ पर दो बिंदु हैं। यदि $(\alpha, \beta)$ $A$ और $B$ पर अतिपरवलय के अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{\cos^2 \alpha} - \frac{y^2}{\sin^2 \alpha} = 1$ के लिए,$\alpha$ में परिवर्तन के साथ निम्नलिखित में से क्या स्थिर रहता है?

मान लीजिए कि मानक रूप में एक अतिपरवलय की अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष की लंबाई क्रमशः $2a$ और $2b$ है,और इस अतिपरवलय की एक नाभि और संगत नियता क्रमशः $(-5, 0)$ और $5x + 9 = 0$ हैं। यदि अतिपरवलय पर स्थित एक बिंदु $(\alpha, 2\sqrt{5})$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $p$ है,तो $4p$ का मान . . . . . . है।

यदि अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर किसी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) तक की लंबवत दूरियों का गुणनफल $6$ है और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) $\sqrt{3}$ है,तो अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) की लंबाई ज्ञात कीजिए।