मान लीजिए $A, B$ दो $3 \times 3$ आव्यूह हैं और $C$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है, इस प्रकार कि $AB-C$ एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है। मान लीजिए $D=(AB-C)^{-1}$ है। तो, निम्नलिखित कथनों पर विचार करें।
कथन $I$: $\operatorname{det}(BA)=\operatorname{det}(BA-C) \operatorname{det}(BDA)$
कथन $II$: $ABD=DAB$
उपरोक्त में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?

  • A
    कथन $I$ सत्य है, लेकिन कथन $II$ असत्य है
  • B
    कथन $II$ सत्य है, लेकिन कथन $I$ असत्य है
  • C
    कथन $I$ और कथन $II$ दोनों सत्य हैं
  • D
    कथन $I$ और कथन $II$ दोनों असत्य हैं

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मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ और $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,जहाँ $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,और $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि आव्यूह $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ का सारणिक $\alpha \omega^{2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ और $B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}} $,(जहाँ $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$),तो $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ {{e^{A + B}}} & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ का मान क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

यदि $P$ एक नॉन-सिंगुलर मैट्रिक्स (आव्यूह) है, इस प्रकार कि $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ($0$ शून्य आव्यूह को दर्शाता है), तो $P^{-1}=$

यदि आव्यूह $M_r$ को $r = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $M_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है, तो $\det(M_1) + \det(M_2) + \ldots + \det(M_{2008}) = $

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