मान लीजिए a, b, c तीन वास्तविक संख्याएँ हैं। | vedclass

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Question

(A) चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है, इसलिए इसे $x = 0, 1, 2$ पर भी सतत होना चाहिए।$x = 0$ पर: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$.$\lim_

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$133$

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(A) चूँकि $f(x)$ हर जगह सतत है, इसलिए इसे $x = 0, 1, 2$ पर भी सतत होना चाहिए।$x = 0$ पर: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$.$\lim_{x 	o 0^-} \cos(2x + \pi) = \cos(\pi) = -1$.$\lim_{x 	o 0^+} (ax^2 + b) = b$.अतः, $b = -1$.$x = 1$ पर: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} f(x) = f(1)$.$\lim_{x 	o 1^-} (ax^2 + b) = a + b = a - 1$.$\lim_{x 	o 1^+} (cx + 4) = c + 4$.अतः, $a - 1 = c + 4 \implies a = c + 5$.$x = 2$ पर: $\lim_{x 	o 2^-} f(x) = \lim_{x 	o 2^+} f(x) = f(2)$.$\lim_{x 	o 2^-} (cx + 4) = 2c + 4$.$\lim_{x 	o 2^+} (3a + 1) = 3a + 1$.अतः, $2c + 4 = 3a + 1$.$a = c + 5$ रखने पर: $2c + 4 = 3(c + 5) + 1 \implies 2c + 4 = 3c + 16 \implies c = -12$.तब $a = -12 + 5 = -7$.अब, $b^2 - bc + c^2 = (-1)^2 - (-1)(-12) + (-12)^2 = 1 - 12 + 144 = 133$.

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