मान लीजिए $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}$ एक सतत फलन है ताकि $f(x)$ केवल अपरिमेय मान ग्रहण करता है। यदि $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$ है, तो

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर असंतत (discontinuous) है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} \alpha+\frac{\sin [x]}{x}, & \text{यदि } x>0 \\ 2, & \text{यदि } x=0 \\ \beta+\left[\frac{\sin x-x}{x^3}\right], & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि $f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $\beta-\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $m$ और $n$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ फलन $f(x) = \max \{x, x^3, x^5, \dots, x^{21}\}$,$x \in R$,क्रमशः अवकलनीय नहीं है और सतत नहीं है। तो $m + n$ का मान . . . . . . है।

$a, b > 0$ के लिए,मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{\tan((a+1)x) + b \tan x}{x}, & x < 0 \\ \frac{\sqrt{ax + b^2x^2} - \sqrt{ax}}{b \sqrt{a} x \sqrt{x}}, & x > 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर एक सतत फलन है। तो $\frac{b}{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f$ जो $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर $f(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}, & x \neq \frac{\pi}{4} \\ k, & x=\frac{\pi}{4} \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।